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THEOREME D'AL KASHI

 

ENONCE DU THEOREME

Dans un triangle quelconque, le carré de la longueur opposée à un angle est égale à la somme des carrés des deux autres côtés moins le double du produit de ces mêmes côtés et du cosinus de l'angle.

Exemple :

Par le théorème d'Al Kashi on a donc :

a²=b²+c²-2bc*cos(BAC)

b²=a²+c²-2ac*cos(ABC)

c²=a²+b²-2ab*cos(ACB)

 

DEMONSTRATION

Il existe plusieurs façon de démontrer ce théorème. Ici nous en verrons deux.

 

Avec les produits scalaires

On admet que

On se repporte à la figure précédemment vue.

Grâce au produit scalaire on démontre ce théorème très rapidement.

 

Avec le théorème de Pythagore et les relations trigonométriques dans le triangle rectangle

Dans le triangle ABC quelconque, on notera AH la hauteur issue de A, x la longueur HB et a-x la longueur CH.

Dans le triangle ACH rectangle en H, par le théorème de Pythagore on a : b²=AH²+(a-x)² , on a donc b²=x²-c²+a²+x²-2ax.

De plus on peut écrire que :

En remplaçant on obtient :

Maintenant on factorise par c² (seulement les deux premiers termes), puis on factorise de nouveau par c² pour obtenir dans la parenthèse (sin²(ABC)+cos²(ABC)), on sait que ceux-ci fait 1.