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THEOREME DE PYTHAGORE

 

ENONCE DU THEOREME DE PYTHAGORE

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égale à la somme des carrés des côtés de l'angle droit. Et réciproquement si dans un triangle la somme des carrés de deux côtés est égale au carré du plus grand côté alors ce triangle est rectangle et le plus grand côté est l'hypoténuse.

exemple :

Puisque le triangle est rectangle, alors par le théorème de Pythagore on a :

c²=a²+b²

DEMONSTRATION

Construction de la figure géométrique qui va servir à la démonstration Prenons un rectangle de largeur a et de hauteur b. Ce rectangle que nous faisons pivoter de 90 degrès de la façon suivante :

 

Pour chacun des rectangles, divisons les en deux de la façon suivante :
Faisons pivoter de 90degrès les triangles rectangles jaune et violet de la façon suivante :
Nous nous retrouvons donc avec quatre triangles rectangles.
Nous constatons que l'on se retrouve avec un carré à l'intérieur d'un autre.

 

Reprenons notre dernier schéma pour désigner chacun des cotés par les lettres suivantes :

On a quatre triangles rectangles dont :

le coté opposé est désigné par a, la base est désignée par b, et l'hypoténuse par n.

Chaque hypoténuse n représentent donc les cotés du petit carré. Le coté opposé plus la base (a + b) de chaque triangle rectangle représentent chacun des cotés du grand carré.

Aire du petit carré : n²

Aire du grand carré : (a+b)²

L'aire du petit carré est égale à la différence de l'aire du grand carré et de l'aire totale de 4 triangles rectangles.

Aire des 4 triangles rectangles : 4*(ab/2)=2ab

On a donc :

n²=(a+b)²-2ab

n²=a²+2ab+b²-2ab

n²=a²+b²

Conclusion, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des cotés de l'angle droit.